1.Semua bilangan yang terdiri dari dua angka dari 19 sampai 96 ditulis secara berurutan sehingga membentuk bilangan asli N = 1920212223242526……93949596. Buktikan bahwa N habis dibagi 3.
2.Untuk setiap bilangan asli n tunjukan bahwa n5 – n adalah kelipatan 30 !
3.Tunjukan bahwa tidak ada bilangan bulat (x,y) yang memenuhi x2 – y2 = 2010 .
4.Untuk setiap bilangan asli , tunjukan bahwa kuadrat bilangan ganjil dapat dinyatakan dalam bentuk 8k+1, untuk k 
Asli.
5.Diketahui bilangan asli N yang memenuhi N = 134! ( ! dibaca factorial), tentukan banyaknya digit nol terakhir tanpa putus.
Jawaban
1.N = 1920212223242526………..93949596., untuk membuktikan N kelipatan 3 maka
kita hanya perlu menambahkan semua digit N sehingga jumlah digit N kita tulis
1+9+2+0+2+1+2+2+2+3+2+4+2+5+2+6………….9+3+9+4+9+5+9+5+9+6.
Kita mulai menghitung digit 2021…878889. Pada digit puluhan didapatkan
20+30+40+50+60+70+80 =350, dan digit satuan 7 ( 1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 315
Kemudian ditambah jumlah digit 1+9+(9+0+9+1+9+2+9+3+9+4+9+5+9+6) = 94
Jadi jumlah digitnya 350+315+ 94 = 759. maka kita membuktikan apakah 759 habis dibagi 3 dan ternyata 759 habis dibagi 3, 759/3 = 253. dengan demikian telah dibuktikan N habis dibagi 3.
2. kita misalkan n = 1, 
n5 – n = 15-1= 0, 0 habis dibagi 30.
n = k, n5 –n = k5-k , kita asumsikan habis dibagi 30.
untuk n = k +1, n5 – n = (k+1)5 – (k+1)
= (k +1) {( k + 1)4 -1}
= ( k+1) {(k+1)2-1} {( k+1)2 +1}
= ( k+1) {( k+1) -1}{(k+1)+1} {(k+1)2+1}
= k (k +1) (k+2) { (k+1)2 + 1)
Tinjau k (k+1) (k+2) adalah perkalian tiga bilangan asli berurutan yang merupakan bilangan yang habis dibagi 6.
n5 – n = (k+1)5 – (k+1)
= k5 + 5 k4 + 10k3 + 10k2 + 5k +1 – (k+1)
= (k5-k)+ 5 (k4 + 2k3 + 2k2 + k )
Karena k5-k dalam asumsi awal habis dibagi 30 maka k5-k habis dibagi 5 sehingga
(k5-k)+ 5 (k4 + 2k3 + 2k2 + k ) habis dibagi
Dengan demikian n5 – n habis dibagi 5 dan 6. karena (5,6) = 1 ( 5 relatif prima terhadap 6) maka n5 – n habis dibagi 30..
1. akan ditunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi
x2 – y2 = 2010,
kita dapat tinjau x dan y dalam 4 kemungkinan
1. x genap dan y genap
2. x genap dan y ganjil
3. x ganjil dan y genap
4. x ganjil dan y ganjil
dari kemungkinan x dan y, maka kemungkinan (2) dan (3) tidak mungkin karena pengurangan bilangan genap dengan bilangan ganjil atau sebaliknya akan menghasilkan bilangan ganjil sedangkan 2010 genap.
Kita ambil kemungkinan (1)
x genap x = 2p , y genap y = 2q , p,q bulat
x2 – y2 = (2p)2 – (2q)2
= 4p2 – 4q2
= 4(p2 – q2), terlihat bahwa x2 – y2 adalah kelipatan 4, sedangkan 2010
bukan kelipatan empat.Dengan cara yang sama dapat
dibuktikan untuk x ganjil dan y ganjil.
Dengan demikian pembuktian telah lengkap.
4.Akan dibuktikan bahwa setiap bilangan asli maka kuadrat bilangan ganjil dapat
dinyatakan dalam bentuk 8k + 1.
misalkan bilangan ganjil p , p Asli, maka p = 2q +1 untuk setiap q elemen asli.
P2 dapat dinyatakan dalam bentuk 8k+1, sama artinya p2 -1 habis dibagi oleh 8.
Karna p2 - 1 = (2q+1)2 -1
= 4q2 + 4q+1 -1
= 4q2 +4q
= 4q( q +1), terlihat bahwa q (q+1) adalah perkalian 2 bilangan
asli berurutan sehingga habis dibagi 2, maka 4q( q +1), habis
dibagi 8.
Dengan demikian terbukti untuk setiap bilangan asli, maka kuadrat bilangan ganjil dapat dinyatakan dalam bentuk 8k+1.
5.banyaknya digit 0 tanpa terputus dari 134! ( ! dibaca factorial)
Kita nyatakan 134! = 2p 5q r, karena bilangan 0 diperoleh dari perkalian 2 dan 5.
Maka setiap kelipatan 5 akan memberikan nilai 0 dan memberi sumbangan
= akan memberikan sumbangan 26 angka 0
Setiap kelipatan 25 juga memberikan sumbangan 0
akan memberikan sumbangan 5 angka 0
Dan setiap kelipatan 125 juga akan memberikan sumbangan angka 0
akan memberikan 1 sumbangan angka 0
Sehingga banyaknya angka nol di akhir tanpa terputus adalah 26+5+1 = 32.
Jawaban diatas tentunya masih banyak kekurangan baik dari segi konsep maupun
penalaran sehingga kami dari Himpunan Mahasiswa Eksakta STKIP Muhammadiyah
membutuhkan kritik saran demi perbaikan ke depan.Semoga pembahasan diatas dapat
bermanfaat .Amin.
Dibahas Oleh : Aris Setiawan
Designed : Jian
